Recherche de creux magnétiques

L'aspect géométrique d'un creux magnétique se traduit simplement par un changement de courbure le long d'une ligne de champ. Pour ce faire, on utilise les propriétés de l'abscisse curviligne. Dans un repére orthogonal de Frenet, $\vec T$ est le vecteur tangent à la courbe, $\vec N$ est le vecteur normal et $\vec B$ représente la binormale. ($\vec T$, $\vec N$, $\vec B$) forment une base orthormée directe. En un point M de la courbe, l'abscisse curviligne s est la longueur d'arc entre une origine fixée et le point M. Par définition, le vecteur tangent à la ligne de champ est donné par $\frac{\vec B}{B}$. La variation du vecteur tangent en fonction de l'abscisse curviligne précise la courbure de la courbe dans un plan ou dans l'espace :

$$\frac{d\vec T}{ds} = c \vec N$$ (IV.B.1)

où c est la courbure. Le rayon de courbure R est alors l'inverse de la courbure c. R est le rayon du cercle tangent à la courbe au point M. Dans un plan (xOy), on considère que la concavité de la courbe est tournée vers le haut (resp. vers le bas), suivant l'orientation de [Oy), lorsque le centre du cercle tangent est situé au-dessus (resp. en-dessous) de la courbe. Cette propriété se généralise pour une courbe dans l'espace.

Pratiquement, les lignes de champ sont déterminées par la relation suivante :

$$\frac{dx}{B_{x}} = \frac{dy}{B_{y}} = \frac{dz}{B_{z}} = \frac{ds}{B}$$ (IV.B.2)

où s est l'abscisse curviligne. À partir des deux équations précédentes, nous pouvons en déduire la relation entre le rayon de courbure et le champ magnétique ([Aulanier et al.1998]) :

$$c \vec N = \frac{1}{B^{2}} (\vec B \cdot \vec \nabla)\vec B - \frac{\vec B}{B^{3}} \vec B \cdot \vec \nabla B .$$ (IV.B.3)

Pour étudier les variations de coubure, on étudie donc les variations du rayon de courbure le long d'une ligne de champ.