Équations de Maxwell

Les équations de Maxwell représentent les bases de l'életromagnétisme, c'est-à-dire que ces équations permettent de décrire les évolutions spatio-temporelles du champ électrique et du champ magnétique :

$$\vec {rot}(\vec E) = - \frac{\partial \vec B}{\partial t}$$ (II.B.7)

$$div(\vec B) = 0$$ (II.B.8)

$$div(\vec E) = \frac{\rho_{c}}{\epsilon_{0}}$$ (II.B.9)

$$\vec{rot}(\vec B) = \mu_{0}(\vec j + \epsilon_{0} \frac{\partial \vec E}{\partial t})$$ (II.B.10)

en tenant compte des relations constitutives $\vec B = \mu_{0} \vec H$ et $\vec D = \epsilon_{0} \vec E$. Dans ces équations, $\vec B$ est l'induction magnétique (couramment appelée le champ magnétique), $\vec E$ le champ électrique, $\vec j$ la densité de courant, $\rho_{c}$ la densité de charge, $\mu_{0}$ la perméabilité magnétique ( $\mu_{0} = 4 \pi 10^{-7}$ H.m$^{-1}$), $\epsilon_{0}$ la permittivité électrique ($\epsilon_{0}$ = 8.854 10$^{-12}$ F.m$^{-1}$). $\mu_{0}$ et $\epsilon_{0}$ sont reliées par $\mu_{0} \epsilon_{0} c^{2} = 1$ où c est la vitesse de la lumière.

Soient $l_{0}$, $t_{0}$ et $V_{0} = l_{0}/t_{0}$, la longueur, le temps et la vitesse caractéristique du plasma. L'analyse dimensionnelle de l'équation (II.7) montre que

$$\frac{E}{l_{0}} \sim \frac{B}{t_{0}}$$ (II.B.11)

Compte-tenu de cette dernière relation et du fait que $V_{0} « c$, le second terme du membre de droite de l'équation (II.10) est négligeable devant le terme magnétique et devant la distribution de courant, c'est-à-dire :

$$\vec{rot}(\vec B) = \mu_{0} \vec j$$ (II.B.12)

La forme intégrale de l'équation (II.8) signifie que le vecteur champ magnétique est à flux conservatif : le flux de $\vec B$ à travers une surface fermée se conserve (égalité entre le flux entrant et le flux sortant). L'équation (II.8) permet aussi d'écrire que

$$\vec B = \vec{rot} \vec A$$ (II.B.13)

où $\vec A$ est le potentiel vecteur associé au champ magnétique.