Équations de conservation

Les mouvements d'un plasma de densité $\rho$ sont gouvernés par des équations de conservation de la masse, de la quantité de mouvement ou l'énergie. Ces relations sont déduites des différents moments de la fonction de distribution associée au plasma et considérée comme une distribution maxwellienne.

L'équation de continuité ou de conservation de la masse s'écrivant :

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \vec v) = 0$$ (II.B.14)

traduit le fait que la masse est distribuée continuement dans le plasma.

Pour un plasma électriquement neutre soumis aux seules forces de pression, de Lorentz, de gravité et de viscosité, l'équation du mouvement (ou conservation de la quantité de mouvement) s'écrit :

$$\rho (\frac{\partial}{\partial t} + \vec v.\vec \nabla)\vec ... ...ec{grad}(p) + \vec j \land \vec B + \rho \vec g + \vec F_{\nu}$$ (II.B.15)

où p représente le champ de pression cinétique, $\vec g$ est le champ de gravité. La force de viscosité s'écrit $\vec F_{\nu} = \rho \nu (\Delta \vec v + \frac{1}{3} \vec{grad}(div(\vec v))$ où $\nu$ est le coefficient de viscosité cinématique.

Suivant les mêmes hyphothèses (en négligeant la viscosité), l'équation de conservation de l'énergie cinétique s'écrit :

$$\frac{\partial}{\partial t}(\frac{1}{2}\rho v^{2}) + div(\fr... ...vec v . ( - \vec{grad}(p) + \rho \vec g + \vec j \land \vec B)$$ (II.B.16)

et l'équation de conservation de l'énergie interne U est

$$\frac{\partial U}{\partial t} + div((U + p) \vec v) = \vec v . \vec{grad}(p) .$$ (II.B.17)

Comme nous avons négligé ici la viscosité et les sources ou pertes de chaleur, nous nous situons dans l'hypothèse adiabatique qui nous permet de réécrire l'équation précédente sous la forme

$$(\frac{\partial}{\partial t} + \vec v . \vec \nabla) (\frac{p}{\rho^{\gamma}}) = 0$$ (II.B.18)

où $\gamma$ est le coefficient adiabatique (rapport des chaleurs spécifiques $c_{p}$ et $c_{v}$). L'équation de conservation de l'énergie totale est alors la somme des équations II.16 et II.18 : conservation de l'énergie cinétique et de l'énergie interne.

D'autre part, la densité de charge $\rho_{c}$ dans un plasma se conserve :

$$\frac{\partial \rho_{c}}{\partial t} + div({\vec j}) = 0.$$ (II.B.19)

Dans le cas d'un plasma électriquement neutre, la conservation de la densité de charge se réduit à $div(\vec j) = 0$