Loi d'Ohm, MHD idéale

La loi d'Ohm pour un conducteur en mouvement dans un champ magnétique est donnée par :

$$\vec j = \sigma (\vec E + \vec v \land \vec B)$$ (II.B.20)

où $\sigma$ est la conductivité électrique du plasma. De cette équation et des équations de Maxwell, nous en déduisons l'équation d'évolution du champ magnétique :

$$\frac{\partial \vec B}{\partial t} = \vec{rot}(\vec v \land \vec B) + \eta \Delta \vec B$$ (II.B.21)

avec $\eta = (\mu_{0} \sigma)^{-1}$ le coefficient de diffusion magnétique, et où le premier terme du second membre est le terme de convection, et le second terme est un terme de diffusion. Pour caractériser l'importance relative des deux termes, on forme le nombre sans dimension appelé le nombre de Reynolds magnétique :

$$R_{B} = \frac{v l}{\eta} = \left[ \frac{convection}{diffusion} \right]$$ (II.B.22)

avec $v$ la vitesse et $l$ la longueur caractérisant l'écoulement. Pour $R_{B} » 1$ dans lequel la convection domine, on suppose généralement que la conductivité électrique $\sigma$ devient infinie. La loi d'Ohm implique alors que :

$$\vec E + \vec v \land \vec B = \vec 0 .$$ (II.B.23)

On se place alors dans le cadre de la MHD idéale. Les équations II.21 et II.23 ont pour conséquence le théorème du gel : les lignes de champ magnétique évoluent avec le plasma. Dans le cadre de la MHD idéale, il existe un certain nombre de paramètres se conservant tels que le moment magnétique orbital $\mu$ ou encore l'hélicité magnétique $H_{m}$. Cette dernière quantité donnée par :

$$H_{m} = \int_{V} \vec A \cdot \vec B dV$$ (II.B.24)

rend compte des propriétés topologiques du champ magnétique (cf revue de ber99). Par contre, cette expression de l'hélicité est sensible à la condition de jauge imposée (condition de fermeture imposée au potentiel vecteur). Pour pallier cette condition, ber84 ont défini l'hélicité magnétique relative $\Delta H_{m}$ dans un volume $\Omega$ en faisant intervenir le champ potentiel $\vec B_{0}$ ( $\vec{rot} \vec B_{0} = \vec 0$) avec les mêmes conditions aux limites imposées au champ $\vec B$ :

$$\Delta H_{m} = \int_{\Omega} (\vec A - \vec A_{0}) \cdot (\v... ...t_{\partial \Omega} \chi (\vec B + \vec B_{0}) \cdot \vec n dS$$ (II.B.25)

où $\vec A$ (resp. $\vec A_{0}$) est le potentiel vecteur associé au champ magnétique $\vec B$ (resp. $\vec B_{0}$), $\vec n$ est la normale à la surface. $\chi$ s'exprime à partir de $\vec B$ et de $\vec B_{0}$ (ber84). On peut considérer deux cas particuliers :

• si le volume $\Omega$ est un demi-espace, l'intégrale de surface tend alors vers zéro ;
• si on impose que la composante normale du champ magnétique doit être nulle à la surface limitant le volume $\Omega$, alors l'intégrale de surface est exactement égale à zéro.

Ces deux cas conduisent à l'expression de l'hélicité magnétique relative suivante :

$$\Delta H_{m} = \int_{\Omega} (\vec A - \vec A_{0}) \cdot (\vec B + \vec B_{0}) dV$$ (II.B.26)