Méthode

Les équations décrivant l'équilibre du champ magnétique coronal dans l'hypothèse d'un champ sans-force non linéaire sont les suivantes :

$$\vec{rot}(\vec B) = \alpha(\vec r) \vec B,$$ (III.D.4)

$$div(\vec B) = 0 .$$ (III.D.5)

De ces équations, nous pouvons en déduire que $\alpha$ est constant le long d'une ligne de champ :

$$\vec B \cdot \vec \nabla \alpha(\vec r) = 0 .$$ (III.D.6)

Dans ces équations non linéaires, $\alpha(\vec r)$ et $\vec B$ sont les inconnues. Ce système d'équations doit être complété par un jeu de conditions aux limites sur la surface $\partial \Omega$ limitant le demi-espace $\Omega$ ($z > 0$). En 1958, Grad & Rubin ont développé un schéma numérique permettant de séparer le problème non linéaire en une série de problèmes linéaires (aly89 ; ama97) :

$$\vec B^{(n)} \cdot \vec \nabla \alpha^{(n)} = 0 \quad \textrm{dans $\Omega$},$$ (III.D.7)

$$\alpha^{(n)}\vert _{\partial \Omega^{+}} = h,$$ (III.D.8)

$$\vec{rot}(\vec B^{(n + 1)}) = \alpha^{(n)} \vec B^{(n)} \quad \textrm{dans $\Omega$},$$ (III.D.9)

$$div(\vec B^{(n + 1)}) = 0 \quad \textrm{dans $\Omega$},$$ (III.D.10)

$$B_{z}^{(n + 1)}\vert _{\partial \Omega} = g,$$ (III.D.11)

$$\lim_{\vert\vec r\vert \rightarrow \infty} \vert\vec B^{(n + 1)}\vert = 0 .$$ (III.D.12)

Dans ce système d'équations, $\partial \Omega^{+}$ est la partie de $\partial \Omega$ pour laquelle $B_{n} > 0$ ; $g$ et $h$ sont des fonctions régulières. Considérons le champ magnétique potentiel $\vec B_{0} = \vec B^{(0)}$ permettant de déterminer $g$. Les équations III.7-III.8 (resp. III.9-III.12) forment un système d'équations de structure hyperbolique (resp. elliptique). À partir de $\vec B_{0}$, on peut résoudre successivement la séquence d'équations (Éqs. III.7-III.12). ama97 ont développé cette méthode de Grad-Rubin en choisissant une représentation à l'aide du potentiel vecteur $\vec A$ associé à $\vec B$ : $\vec B = \vec{rot}(\vec A)$. Comme la détermination de $\vec A$ n'est pas unique, il faut d'abord définir des conditions de jauge telles que

$$div(\vec A) = 0 \quad \textrm{dans $\Omega$},$$ (III.D.13)

$$div_{t}(\vec A_{t}) = 0 \quad \textrm{sur $\partial \Omega$}$$ (III.D.14)

où l'indice t se réfère à la trace de l'opérateur ou au champ sur la surface limite $\partial \Omega$ de $\Omega$. À partir de la composante normale de $\vec B$ ($B_{n} = g$), on peut calculer $\vec A_{t}$ :

$$\vec A_{t} = \vec{grad}_{\perp}(\chi) \quad \textrm{sur $\partial \Omega$}$$ (III.D.15)

avec $\chi$ solution du problème aux conditions aux limites suivant :

$$- \Delta \chi = g \quad \textrm{sur $\partial \Omega$},$$ (III.D.16)

$$\chi = 0 \quad \textrm{ou} \quad \partial_{n} \chi = 0 \quad \textrm{sur $\partial \Omega$}.$$ (III.D.17)

La condition de jauge imposée au potentiel vecteur dans le volume $\Omega$ permet de réécrire le système d'équations elliptiques pour $\vec B^{(n)}$ en fonction du potentiel vecteur $\vec A^{(n)}$ :

$$-\Delta \vec A^{(n + 1)} = \alpha^{(n)} \vec{rot}(\vec A^{(n)}) \quad \textrm{dans $\Omega$},$$ (III.D.18)

$$\vec A_{t}^{(n + 1)} = \vec{grad}_{\perp} \chi \quad \textrm{sur $\partial \Omega$},$$ (III.D.19)

$$\partial_{n}^{} \vec A_{n}^{(n + 1)} = 0 \quad \textrm{sur $\partial \Omega$}.$$ (III.D.20)

Cette méthode est la base de code XTRAPOL pour la reconstruction du champ magnétique coronal suivant l'hypothèse du champ sans-force non linéaire. En pratique, on utilise la distribution de la composante verticale du champ magnétique et la distribution du paramètre $\alpha$ au niveau de la photosphère pour effectuer la reconstruction. À partir de $B_{z}$, on calcule d'abord le champ potentiel dans un volume fini. On injecte progressivement la valeur calculée de $\alpha$ en divisant en N étapes d'injection : la valeur 0 correspond au cas potentiel ($\alpha = 0$), la valeur N est associée à la valeur de $\alpha$ mesurée au niveau de la photosphère. Pour chaque étape, on résoud le problème posé par Grad-Rubin (cf Éqs III.7-III.12).

En d'autres termes, à chaque injection de courant électrique (équivalent à l'injection de $\alpha$) dans la configuration magnétique, la méthode de Grad-Rubin permet de déterminer un nouvel équilibre du champ sans-force non linéaire. On répète ce calcul jusqu'à ce que le courant électrique mesuré au niveau de la photosphère soit totalement injecté dans la configuration.

Le calcul s'effectue pour un volume $\Omega$ fini ce qui modifie la condition asymptotique (Éq. III.12) en imposant que le champ normal aux surfaces limitant le volume (différentes de la surface photosphérique) est nul :

$$B_{n} = 0 \quad \textrm{sur $\partial \Omega_{np}$}$$ (III.D.21)

avec $\partial \Omega_{np}$ représentant les surfaces limitant le volume $\Omega$ et différentes de la surface photosphérique. Par conséquent, aucune ligne de champ ne peut entrer ou sortir de la boîte de calcul.

Figure III.16: Grille non uniforme dans le plan photosphérique (directions x et y) utilisée pour le calcul du champ sans force non linéaire de la région active 8151. L'évolution des pas de grille est continue.

D'autre part, nous utilisons un maillage non uniforme à 3 dimensions. Pour ce faire, nous définissons principalement la grille dans le plan photosphérique à l'aide de $B_{z}$ (Fig. III.16) en tenant compte des variations du flux magnétique photosphérique : plus le flux magnétique est élevé, plus le pas de grille est petit (dans la limite de la résolution spatiale de l'instrument). L'évolution du pas de grille se fait de façon continue.

De plus, nous calculons l'énergie magnétique de la configuration donnée par

$$E_{m} = \int_{\Omega} \frac{B^{2}}{2\mu_{0}} dV$$ (III.D.22)

ainsi que l'hélicité magnétique relativement au champ potentiel donnée par

$$\Delta H_{m} = \int_{\Omega} (\vec A - \vec A_{0}) \cdot (\vec B + \vec B_{0}) dV$$ (III.D.23)

où $\vec B_{0}$ et $\vec A_{0}$ caractérisent le champ potentiel. La condition III.21 impose que l'intégrale de surface est nulle (cf Chap. II Sect. 3) sur les surfaces limitant le volume à l'exclusion de la surface photosphérique. Sur le bord photosphérique, le terme de surface n'est pas exactement nul mais tend vers zéro lorsque le champ magnétique tend vers 0 vers les bords de la surface (comme si on considérait cette surface comme un plan avec le champ magnétique s'annulant à l'infini).