Modes d'oscillations

Pour déterminer les modes d'oscillation du filament, nous linéarisons les équations de la MHD (cf Chap. II) en introduisant des perturbations de déplacement, de vitesse, de champ magnétique, de pression et de densité de la forme :

$$\delta \xi = \xi exp(i\omega t - ik_{x}x - ik_{y}y - ik_{z}z)$$ (V.C.3)

où $\omega$ est la fréquence de la perturbation, et $k_{x}$, $k_{y}$, $k_{z}$ les nombres d'onde dans chaque direction. L'ensemble des calculs permettant l'obtention des relations de dispersion des ondes pouvant exister dans ce modèle est détaillé dans l'annexe V.A. Les principales hypothèses de ce modèle sont de considérer que $2a « L, H$, et que l'on se situe dans l'approximation des grandes longueurs d'onde, c'est-à-dire que $k_{y} = k_{z} = 0$. Les conditions aux limites sont fixées par l'effet des murs rigides en $\pm l$ : $v_{x}(\pm l) = v_{y}(\pm l) = v_{z}(\pm l) = 0$. Les conditions de continuité sont déterminées à l'interface entre le milieu intérieur et le milieu extérieur : continuité de la pression totale et de la composante $v_{x}$ de la vitesse en $\pm a$. Ces conditions conduisent à la continuité de $\delta \vec v$, $\delta p$, $\delta B_{y}$ et de $\delta B_{z}$. Les six modes obtenus sont les modes d'Alfvén pair et impair avec une vitesse caractéristique $v_{Ax}$ (vitesse d'Alfvén suivant l'axe x), les modes magnétoacoustiques (lents et rapides) "sausage" et "kink" de vitesses caractéristiques $c^{\pm} = \sqrt{2}v_{Ax}c_{s} ( c_{f}^{2} \pm (c_{f}^{4} - 4 v_{Ax}^{2} c_{s}^{2})^{1/2}) ^{-1/2}$ ($+$ pour les modes lents, $-$ pour les modes rapides) où $c_{s}$ est la vitesse du son dans le milieu et $c_{f}^{2} = v_{A}^{2} + c_{s}^{2}$. Ils satisfont aux équations de dispersion suivantes :

$$\tan{(\frac{w a}{v_{o}})} - \sqrt{\frac{\rho_{e}}{\rho_{o}}} \cot{(\frac{w (l - a)}{v_{e}})} = 0$$ (V.C.4)

pour le mode d'Alfvén pair ($v = v_{Ax}$) et pour les modes magnétoacoustiques "kink" lents ($v = c^{+}$) et rapides ($v = c^{-}$) ;

$$\cot{(\frac{w a}{v_{o}})} + \sqrt{\frac{\rho_{e}}{\rho_{o}}} \cot{(\frac{w (l - a)}{v_{e}})} = 0$$ (V.C.5)

pour le mode d'Alfvén impair ($v = v_{Ax}$) et pour les modes magnétoacoustiques "sausage" lents ($v = c^{+}$) et rapides ($v = c^{-}$). Les modes satisfaisant à l'équation de dispersion V.4 (resp. V.5) seront regroupés sous le terme de modes pairs (resp. impairs)

Ces équations de dispersion possèdent une infinité de solutions. La fréquence la plus basse est appelée la fréquence primaire, les suivantes étant les fréquences secondaires. En supposant que $\frac{a}{l} « 1$, on peut donner une forme approchée de la fréquence primaire et des fréquences secondaires de modes (Tab. V.2). Nous nous sommes restreints aux fréquences inférieures à 6 mHz (périodes supérieures à $\sim$ 3 min). Les fréquences secondaires ne sont pas des fréquences harmoniques de la fréquence principale du mode considéré. On notera aussi que les fréquences secondaires peuvent se scinder en deux sous-catégories : les fréquences des modes internes (ne dépendant que de la vitesse du milieu intérieur) et les fréquences des modes externes (ne dépendant que de la vitesse du milieu extérieur).

Tableau V.2: Formules approchées des fréquences primaires et secondaires pour les modes pair et impair. La vitesse $c$ est remplacée par soit $v_{Ax}$ pour les modes d'Alfvén, soit $c^{+}$ pour les modes lents, soit $c^{-}$ pour les modes rapides.

	fréquence primaire	fréquence secondaire
mode	$\frac{c_{o}}{2\pi (la)^{1/2}}$	$\frac{n c_{o}}{2 a}$     $n=1,2,..$
pair		(mode interne)
(Alfvén, kink)		$\frac{n c_{e}}{2 (l-a)}$     $n=1,2,..$
		(mode externe)
mode	$\frac{c_{o}}{4a}$	$\frac{(2n+1) c_{o}}{4a}$     $n=1,2,..$
impair		(mode interne)
(Alfvén, sausage)		$\frac{n c_{e}}{2 (l-a)}$     $n=1,2,..$
		(mode externe)

Par la suite, nous utiliserons la notation suivante : "eAm" pour le mode d'Alfvén pair, "oAm" pour le mode d'Alfvén impair, "skm" pour le mode lent "kink", "ssm" pour le mode lent "sausage", "fkm" pour le mode rapide "kink" et "fsm" pour le mode rapide "sausage" ; les fréquences des modes secondaires internes (externes) sont notées $\omega^{n, i}$ ($\omega^{n, e}$) avec $n \geq 1$.

À partir du tableau V.2, nous avons calculé les rapports des fréquences primaires et des fréquences secondaires :

$$\frac{\omega_{eAm}}{\omega_{oAm}} = \frac{\omega_{skm}}{\ome... ...}{\omega_{fsm}} = \frac{2}{\pi} \left(\frac{a}{l}\right)^{1/2}$$ (V.C.6)

pour les rapports des fréquences primaires,

$$\frac{\omega^{n, i}_{eAm}}{\omega_{eAm}} = \frac{\omega^{n, ... ...^{n, i}_{fkm}}{\omega_{fkm}} = n \pi \left(\frac{l}{a}\right)$$ (V.C.7)

pour les rapports des fréquences secondaires internes et de la fréquence primaire des modes pairs considérés,

$$\frac{\omega^{n, e}_{eAm}}{\omega_{eAm}} = \frac{\omega^{n, ... ... \pi \left(\frac{a}{l}\right) \sqrt{\frac{\rho_{o}}{\rho_{e}}}$$ (V.C.8)

pour les rapports des fréquences secondaires externes et de la fréquence primaire des modes pairs considérés,

$$\frac{\omega^{n, i}_{oAm}}{\omega_{oAm}} = \frac{\omega^{n, ... ...ega_{ssm}} = \frac{\omega^{n, i}_{fsm}}{\omega_{fsm}} = 2n + 1$$ (V.C.9)

pour les rapports des fréquences secondaires internes et de la fréquence primaire pour les modes impairs considérés,

$$\frac{\omega^{n, e}_{oAm}}{\omega_{oAm}} = \frac{\omega^{n, ... ... 2 n \left(\frac{a}{l}\right) \sqrt{\frac{\rho_{o}}{\rho_{e}}}$$ (V.C.10)

pour les rapports des fréquences secondaires externes et de la fréquence primaire pour les modes impairs considérés.

Il est intéressant de remarquer que le rapport des fréquences primaires, Éq.(V.6), ne dépend que des caractéristiques géométriques du modèle, $l$ et $a$, et par conséquent ne dépend ni de l'angle $\phi$, ni de la densité, ni de la température et ni du champ magnétique. Ce rapport est noté $\eta$ :

$$\eta = \frac{2}{\pi} \left(\frac{a}{l}\right)^{1/2}.$$ (V.C.11)

$\eta$ est le rapport de la fréquence primaire d'un mode pair sur la fréquence primaire du mode impair associé. Comme le modèle suppose que $l > a$, $\eta$ est toujours inférieur à 1. Par conséquent, la fréquence primaire du mode pair est toujours plus petite que la fréquence primaire du mode impair associé.