Analyse paramétrique des modes d'oscillations

Afin de préciser les fréquences caractéristiques des modes d'oscillations, nous allons résoudre les équations de dispersion à partir des paramètres géométriques décrivant la région active 8725 ainsi que des paramètres typiques des filaments-protubérances.

Les paramètres géométriques sont déduits des observations :

• la largeur $2a$ : en utilisant l'image H$\alpha$ (Fig. V.2 en haut à droite), nous avons estimé la largeur $2a$ du filament à 8000 km ;
• la longueur $l$ : la distance entre les deux murs rigides du modèle (Fig. V.8) peut être estimée à partir du magnétogramme MDI (Fig. V.2 en haut à gauche). Les murs parfaitement conducteurs sont parallèles et situés de part et d'autre de la ligne d'inversion de la composante longitudinale du champ magnétique (cf. Fig. V.2 en haut à gauche), et sont séparés d'une distance $2r$ au niveau photosphérique. Dans l'hypothèse où les lignes de champ magnétique sont semi-circulaires, nous pouvons approximer la longueur $l$ à $\frac{\pi}{2} r$, c'est-à-dire $l \sim 63 000$ km.

Les paramètres typiques du filament et du milieu coronal sont la température ( $T_{o} = 8 000 K$, $T_{e} = 10^{6} K$), la densité du filament $\rho_{o} = 10^{12} cm^{-3}$ (e.g. sch85). D'après l'équation V.2, on a donc une densité $\rho_{e}$ du milieu extérieur de $8 10^{9} cm^{-3}$. Nous donnons aussi un ordre de grandeur du module du champ magnétique, $B = 20 G$, et de l'angle entre l'axe principal du filament et le champ magnétique, $\phi = 25^{\circ}$, en accord avec les mesures effectuées par ler84.

L'ensemble des périodes obtenues en résolvant les six équations de dispersion est résumé dans le tableau V.3. Nous nous sommes limités aux périodes supérieures à 3 min. On remarquera que la période primaire du mode lent "kink" est supérieure à 5 heures avec ce jeu de paramètres, et par conséquent on peut déjà conclure que ce mode sera difficilement observable (la durée des observations devrait être de l'ordre de 15 heures). On peut aussi noter le nombre important de périodes secondaires pour les modes lents (en particulier entre 3 et 10 min) au contraire des modes d'Alfvén et des modes rapides.

Tableau V.3: Liste des fréquences primaires et secondaires des modes d'oscillations obtenues en résolvant les équations de dispersion du modèle de joa93 avec $2a = 8 000 km$, $l = 63 000 km$, la densité du filament de $10^{12} cm^{-3}$, le module du champ magnétique de 20 G et l'angle $\phi$ de 25$^{\circ }$.

	Périodes primaires	Périodes secondaires
mode lent	5 h 46 min 51 s	37 min 48 s, 27 min 28 s, 18 min 25 s,
"kink"		14 min 02 s, 12 min 10 s, 9 min 30 s,
		9 min 00 s, 7 min 24 s, 6 min 56 s,
		6 min 08 s, 5 min 35 s, 5 min 14 s,
		4 min 41 s, 4 min 33 s, 4 min 06 s,
		3 min 58 s, 3 min 41 s, 3 min 29 s,
		3 min 20 s
mode d'Alfvén	69 min 30 s	7 min 34 s, 5 min 30 s, 3 min 41 s
pair
mode lent	57 min 22 s	35 min 56 s, 19 min 33 s, 17 min 33 s,
"sausage"		12 min 23 s, 11 min 04 s, 9 min 12 s,
		7 min 59 s, 7 min 20 s, 6 min 17 s,
		6 min 03 s, 5 min 17 s, 5 min 03 s,
		4 min 36 s, 4 min 17 s, 4 min 04 s,
		3 min 44 s, 3 min 39 s, 3 min 21 s
mode rapide	28 min 53 s	$<$ 3 min
"kink"
mode d'Alfvén	11 min 29 s	7 min 12 s, 3 min 55 s, 3 min 31 s
impair
mode rapide	4 min 46 s	$<$ 3 min
"sausage"

Nous prolongeons cette étude paramétrique en faisant varier les paramètres les plus sensibles : l'angle $\phi$, le module du champ magnétique B ou la densité du filament $\rho _{o}$.

La variation de la fréquence primaire des modes en fonction de l'angle $\phi$ est représentée sur le graphique V.9 (en haut à gauche) pour $B = 20 G$ et $\rho_{o} = 10^{12} cm^{-3}$. Les modes rapides ($\times$) ne sont pas sensibles aux variations de l'angle $\phi$. Pour des angles très petits, on se situe dans le cas particulier du champ magnétique purement longitudinal (joa92a) avec une direction de propagation perpendiculaire au champ magnétique. Dans ce cas, seuls les modes rapides sont dominants : les modes lents et d'Alfvén ont des fréquences très petites (des périodes très grandes, $>$ 10 heures). Pour B et $\rho _{o}$ fixés, la fréquence du mode d'Alfvén impair et celle du mode rapide "kink" sont identiques pour un angle $\phi_{0}$ donné par la relation suivante :

$$\sin^2(\phi_{0}) = \eta^2 [ 1 + (1 - \eta^2) \frac{c_{so}^{2}}{v_{Ao}^{2}} ] . \nonumber$$

En particulier pour notre jeu de paramètres, l'intersection des deux modes est pour un angle $\phi$ de $\sim$ 9$^{\circ }$ 30'. Pour ce qui est des angles élevés ( $\sim 90^{\circ}$), nous nous situons dans le cas particulier du champ magnétique purement transverse (joa92b) avec un sens de propagation parallèle au champ magnétique. Les modes d'Alfvén pairs (resp. impairs) et magnétoacoustiques rapides "kink" (resp. "sausage") convergent vers la même fréquence : les modes ont la même vitesse de propagation $v_{Ao}$ et se distinguent par une polarisation différente. La vitesse caractéristique des modes lents est alors $c_{so}$.

Figure V.9: Variations des fréquences primaires des modes d'Alfvén ($\ast$), des modes magnétoacoustiques lents ($\Box$) et rapides ($\times$) en fonction de l'angle $\phi$ (en haut à gauche), du module du champ magnétique (en haut à droite), et de la densité (à gauche).

La variation de la fréquence des modes primaires en fonction du module du champ magnétique (Fig. V.9 en haut à droite) indique que les modes magnétoacoustiques lents sont constants. Pour de faibles valeurs du champ magnétique, seuls les modes magnétoacoustiques lents (ou plutôt acoustiques) existent dans le milieu considéré. Alors que pour les valeurs élevées du champ magnétique, la fréquence primaire de chaque mode augmente. On remarquera que le mode d'Alfvén pair et le mode lent "sausage" s'intersectent pour une valeur du champ magnétique $B_{0}$ définie par :

$$B_{0}^{2}(\rho_{o}) = \mu_{0} \rho_{o} c_{so}^{2} \left(\frac{1}{\eta^{2}} - 1\right).$$ (V.C.12)

Le graphique V.9 en bas à gauche représente la variation de la fréquence primaire des modes en fonction de la densité du filament. Pour les modes d'Alfvén et les modes magnétoacoustiques rapides, plus la structure est massive, plus la fréquence diminue (la période est alors plus grande). Les modes magnétoacoustiques lents ne sont pas sensibles aux variations de densité. Le point d'intersection entre le mode d'Alfvén pair et le mode lent "sausage" est donné par la même relation que pour le graphique précédent (Fig. V.9 en haut à droite) et est défini par l'équation V.13.

Pour chaque graphique, la distance logarithmique entre les fréquences primaires de deux modes associés (les modes d'Alfvén pair et impair, ...) pour un même ensemble de paramètres est constante. Par conséquent, nous retrouvons la condition imposée par l'équation V.6. Pour un angle $\phi$ appartenant à l'intervalle [$\phi_{0}$, 90$^{\circ }$], nous pouvons classer les fréquences primaires des modes par ordre croissant : pour $B < B_{0}(\rho_{0})$,

$$\omega_{skm} < \omega_{eAm} < \omega_{ssm} < \omega_{fkm} < \omega_{oAm} < \omega_{fsm},$$ (V.C.13)

et pour $B > B_{0}(\rho_{0})$,

$$\omega_{skm} < \omega_{ssm} < \omega_{eAm} < \omega_{fkm} < \omega_{oAm} < \omega_{fsm}.$$ (V.C.14)

Cette étude paramétrique nous permet de définir une méthode d'identification des fréquences observées aux fréquences des modes d'Alfvén et des modes magnétoacoustiques obtenues pour le modèle de joa93 :

(i)  

pour le filament observé, nous déterminons le paramètre $\eta$ (Éq. V.11) à partir des paramètres géométriques $a$ et $l$ ;

(ii)

nous calculons l'ensemble des rapports des fréquences observées que nous comparons avec la valeur de $\eta$ ;

(iii)

nous définissons les contraintes observationnelles à appliquer au modèle : les basses fréquences sont limitées par $\omega_{min}$ (cf paragraphe 2.3) et les hautes fréquences sont limitées par $\omega_{max}$ ;

(iv)

parmi les rapports obtenus en (i), nous éliminons ceux qui ne satisfont pas les inégalités V.14 et V.15 ainsi que les conditions (iii).