Opérateur des petits mouvements

Considérons un plasma de densité $\rho_{0}$, de pression $p_{0}$ dans un champ magnétique $\vec B_{0}$. Les quantités $p_{0}$, $\rho_{0}$, et $\vec B_{0}$ sont supposées constantes. Le plasma est soumis aux seules forces de pression, de Lorentz et de gravité. Les équations décrivant le plasma s'écrivent alors :

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + div(\rho \vec v) = 0$$ (V.A.1)

$$\rho (\frac{\partial}{\partial t} + \vec v.\vec \nabla)\vec v = - \vec{grad}(p) + \vec j \land \vec B + \rho \vec g$$ (V.A.2)

$$div(\vec B) = 0$$ (V.A.3)

$$\vec{rot}(\vec B) = \mu_{0} \vec j$$ (V.A.4)

$$\frac{\partial \vec B}{\partial t} = \vec{rot}(\vec v \land \vec B)$$ (V.A.5)

$$(\frac{\partial}{\partial t} + \vec v.\vec \nabla)(\frac{p}{\rho^{\gamma}}) = 0$$ (V.A.6)

Pour étudier les ondes MHD pouvant exister dans ce milieu, des perturbations spatiales et temporelles sont introduites de la façon suivante :

$$p = p_{0} + \delta p \qquad \vec B = \vec B_{0} + \delta \ve... ...ad \rho = \rho_{0} + \delta \rho \qquad \vec v = \delta \vec v$$ (V.A.7)

et permettent de linéariser les équations du plasma (Éqs. V.A.1-6) en négligeant les termes d'ordre 2 des perturbations comme il est indiqué dans l'exemple suivant.
Linéarisation de l'équation V.A.5 :

$$\begin{array}{r c l} \frac{\partial \vec B}{\partial t} & = ... ...= & \vec{rot} (\delta \vec v \land \vec B_{0}) \\ \end{array}$$

puisque $\frac{\partial \vec B_{0}}{\partial t} = \vec 0$ et $\vec{rot} (\delta \vec v \land \delta \vec B)$ est un terme d'ordre 2.

À partir des équations V.A.1-6 linéarisées, les perturbations de pression, de densité, de champ magnétique et de vitesse sont éliminées en introduisant le déplacement $\vec \xi$. Il en résulte une unique équation :

$$\rho_{0} \frac{\partial^{2} \vec \xi}{\partial t^{2}} = - \vec g div(\rho_{0} \vec \xi) + div(\vec \xi . \vec{grad} p_{0}) + \vec{grad}(\gamma p_{0} div \vec \xi)$$

$$+ \vec{rot} (\vec{rot} (\frac{\vec \xi \land \vec B_{0}}... ...{rot} (B_{0}) \land \vec{rot} (\frac{\vec \xi \land \vec B_{0}}{\mu_{0}})$$ (V.A.8)

Le membre de droite de cette équation est appelé l'opérateur des petits mouvements noté $\vec F(\vec \xi)$.

Dans le modèle de joa93 (cf paragraphe 3.1), la gravité est négligée, la pression est isotrope et uniforme, et le champ magnétique est uniforme ( $\vec B_{0} = B_{x} \vec e_{x} + B_{y} \vec e_{y}$). L'opérateur des petits mouvements se réduit alors à :

$$\vec F(\vec \xi) = \gamma p_{0} \vec{grad}(div \vec... ... (\frac{\vec \xi \land \vec B_{0}}{\mu_{0}})) \land \vec B_{0}$$ (V.A.9)

On considère que le déplacement $\vec \xi$ peut se mettre sous la forme $\vec \xi(\vec r, t) = \vec \xi \exp{i (\omega t - \vec k. \vec r)}$ où $\omega$ est la pulsation de l'onde, $\vec \xi = (\xi_{x}, \xi_{y}, \xi_{z})$, $\vec k$ est le vecteur d'onde ( $\vec k = (k_{x}, k_{y}, k_{z})$). Par ailleurs, on introduit la vitesse du son $c_{s} = \sqrt{\frac{\gamma p_{0}}{\rho_{0}}}$, ainsi que la vitesse d'Alfvén $v_{A}$ telle que $v_{A}^{2} = v_{Ax}^{2} + v_{Ay}^{2} = \frac{B_{x}^{2}}{2\mu_{0}} + \frac{B_{y}^{2}}{2\mu_{0}} = \frac{\Vert \vec B_{0} \Vert^{2}}{2 \mu_{0}}$. En se conformant au modèle de joa93, les composantes $k_{y}$ et $k_{z}$ sont négligeables devant $k_{x}$. Par conséquent, les perturbations ne dépendent que de x. L'équation (V.A.8) peut dans ces conditions s'écrire sous la forme du système matriciel suivant :

$$\left(\begin{array}{c c c} \omega^{2} - (c_{s}^{2} + v_{Ay}^... ...v_{Ax}^{2} k_{x}^{2} \\ \end{array} \right) \vec \xi = \vec 0$$ (V.A.10)

Ce système posséde des solutions non-triviales uniquement si le déterminant de la matrice est nul, c'est-à-dire

$$(\omega^{2} - v_{Ax}^{2} k_{x}^{2}) (\omega^{4} - (c_{s}^{... ...2} \omega^{2} k_{x}^{2} + c_{s}^{2} v_{Ax}^{2} k_{x}^{4}) = 0$$ (V.A.11)

Les solutions de cette équation sont :

$$k_{a}^{2} = \frac{\omega^{2}}{v_{Ax}^{2}}, k_{\pm}^{2} = \frac{\omega^{2}}{c^{\pm 2}}$$

avec $c^{\pm} = \sqrt{2}v_{Ax}c_{s} ( c_{f}^{2} \pm (c_{f}^{4} - 4 v_{Ax}^{2} c_{s}^{2})^{1/2}) ^{-1/2}$ et  $c_{f}^{2} = v_{A}^{2} + c_{s}^{2}$. On obtient donc trois modes MHD caractéristiques : le mode d'Alfvén de vitesse $v_{Ax}$ et les modes magnétoacoustiques lents ($c^{+}$) et rapides ($c^{-}$). Les trois modes fondamentaux ainsi définis vont maintenant permettre d'écrire les perturbations des paramètres du plasma et les équations de dispersion.