Diagnostic du filament

À partir de la méthode d'identification développée dans la section 3.3, nous pouvons donc associer à chaque fréquence primaire des modes MHD une fréquence observée. Si les fréquences primaires des modes d'oscillations sont toutes identifiées, les fréquences primaires approchées (Tab. V.2) nous permettent d'accéder aux paramètres caractéristiques du filament en résolvant le système d'équations suivant :

$$\left\{ \begin{array}{c c c} \omega_{ssm} & = & \frac{c_{o}^... ...\frac{c_{o}^{-}}{4 a} \nonumber \nonumber \end{array} \right.$$

Ce système est équivalent au système faisant intervenir uniquement les fréquences primaires des modes pairs ($\omega_{skm}$, $\omega_{eAm}$, $\omega_{fkm}$). Sachant que $c^{\pm} = \sqrt{2}v_{Ax}c_{s} ( c_{f}^{2} \pm (c_{f}^{4} - 4 v_{Ax}^{2} c_{s}^{2})^{1/2}) ^{-1/2}$ et que $v_{Ax} = v_{A} \sin{(\phi)}$, on déduit du système précédent les expressions de l'angle $\phi$, de la vitesse du son $c_{s}$ et de la vitesse d'Alfvén $v_{A}$ en fonction des fréquences primaires des modes et des paramètres géométriques, $a$ et $l$, du modèle :

$$\sin{(\phi)} = \frac{\omega_{oAm}^{2}}{\sqrt{\omega_{ssm}^{2} (\omega_{oAm}^{2} - \omega_{fsm}^{2}) + \omega_{oAm}^{2} \omega_{fsm}^{2}}}$$

$$c_{so} = \frac{4 a \omega_{ssm} \omega_{fsm}}{\omega_{oAm}}$$

$$v_{Ao} = \frac{4 a}{\omega_{oAm}} \sqrt{\omega_{ssm}^{2} (\omega_{oAm}^{2} - \omega_{fsm}^{2}) + \omega_{oAm}^{2} \omega_{fsm}^{2}}$$

Ces équations nous permettent d'évaluer l'angle $\phi$ entre l'axe principal du filament et le champ magnétique, la température du filament, et nous fournissent également une relation de proportionnalité entre le module du champ magnétique et la racine carrée de la densité du filament.

Par contre dans le cas d'une identification partielle des fréquences primaires, nous sommes obligés de définir un paramètre libre. Dans le cas de l'identification de deux fréquences primaires, l'ensemble des équations et des paramètres libres est résumé dans le tableau V.6. Comme paramètres libres du modèle, nous pouvons choisir soit la température $T_{o}$, soit l'angle $\phi$, soit la vitesse d'Alfvén $v_{Ao}$ Ce dernier paramètre libre met en évidence le fait que, sans informations supplémentaires, la méthode de diagnostic fournira toujours une relation entre le module du champ magnétique B et la densité du filament $\rho _{o}$ : pas de diagnostic complet du filament possible.

Tableau V.6: Équations permettant le diagnostic du filament dans le cas d'une identification partielle des fréquences primaires (un couple de fréquences primaires utilisable pour le diagnostic) en fonction du paramètre libre choisi : la température du filament T$_{o}$, l'angle $\phi$ ou la vitesse d'Alfvén $v_{Ao}$.

Fréquences	paramètres libres	équations obtenues
identifiées
$\omega_{eAm}$, $\omega_{fkm}$	T$_{o}$	$sin(\phi) = \frac{2\pi (la)^{1/2} \omega_{eAm} \omega_{fkm}}{( c_{so}^{2} (\omega_{eAm}^{2} - \omega_{fkm}^{2}) + 4 \pi^{2}la \omega_{fkm}^{4}) ^{1/2}}$
		$v_{Ao} = \frac{1}{\omega_{fkm}} \sqrt{c_{so}^{2} (\omega_{eAm}^{2} - \omega_{fkm}^{2}) + 4 \pi^{2}la \omega_{fkm}^{4}}$
	$\phi$	$v_{Ao} = 2 \pi \sqrt{la} \frac{\omega_{eAm}}{sin(\phi)}$
		$c_{so} = 2 \pi \sqrt{la} \frac{\omega_{fkm}}{sin(\phi)} \sqrt{\frac{\omega_{eAm}^{2} - \omega_{fkm}^{2}sin^{2}(\phi)}{\omega_{eAm}^{2} - \omega_{fkm}^{2}}}$
	$v_{Ao}$	$sin(\phi) = 2 \pi \sqrt{la} \frac{\omega_{eAm}}{v_{Ao}}$
		$c_{so} = \omega_{fkm} \sqrt{\frac{4 \pi^{2}la \omega_{fkm}^{2} - v_{Ao}^{2}}{\omega_{fkm}^{2} - \omega_{eAm}^{2}}}$
$\omega_{eAm}$, $\omega_{skm}$	T$_{o}$	$sin(\phi) = \frac{2 \pi (la)^{1/2} \omega_{eAm} \omega_{skm}}{(c_{so}^{2} (\omega_{eAm} - \omega_{skm}^{2}) + 4 \pi^{2}la \omega_{skm}^{4})^{1/2}}$
		$v_{Ao} = \frac{1}{\omega_{skm}} \sqrt{c_{so}^{2} (\omega_{eAm}^{2} - \omega_{skm}^{2}) + 4 \pi^{2}la \omega_{skm}^{4}}$
	$\phi$	$v_{Ao} = 2 \pi \sqrt{la} \frac{\omega_{eAm}}{sin(\phi)}$
		$c_{so} = 2 \pi \sqrt{la} \frac{\omega_{skm}}{sin(\phi)} \sqrt{\frac{\omega_{eAm}^{2} - \omega_{skm}^{2}sin^{2}(\phi)}{\omega_{eAm}^{2} - \omega_{skm}^{2}}}$
	$v_{Ao}$	$sin(\phi) = 2 \pi \sqrt{la} \frac{\omega_{eAm}}{v_{Ao}}$
		$c_{so} = \omega_{skm} \sqrt{\frac{4 \pi^{2}la \omega_{skm}^{2} - v_{Ao}^{2}}{\omega_{skm}^{2} - \omega_{eAm}^{2}}}$
$\omega_{skm}$, $\omega_{fkm}$	T$_{o}$	$sin(\phi) = \frac{4 \pi^{2}la \omega_{skm} \omega_{fkm}}{c_{so} (4\pi^{2}la (\omega_{skm}^{2} - \omega_{fkm}^{2}) - c_{so}^{2})^{1/2}}$
		$v_{Ao} = \sqrt{4\pi^{2}la (\omega_{skm}^{2} - \omega_{fkm}^{2}) - c_{so}^{2}}$
	$\phi$	$c_{so} = \sqrt{2}\pi (la)^{1/2} (\omega_{skm}^{2} + \omega_{fkm}^{2})^{1/2} \sqrt{1 \pm \alpha}$
		$v_{Ao} = \sqrt{2}\pi (la)^{1/2} (\omega_{skm}^{2} + \omega_{fkm}^{2})^{1/2} \sqrt{1 \mp \alpha}$
		avec $\alpha = (1 - \frac{4\omega_{skm}^{2} \omega_{fkm}^{2}}{( \omega_{skm}^{2} + \omega_{fkm}^{2})^{2}sin^{2}(\phi)})^{1/2}$
	$v_{Ao}$	$sin(\phi) = 4\pi^{2} la \frac{\omega_{skm}\omega_{fkm}}{v_{Ao} (4\pi^{2} la (\omega_{skm}^{2} + \omega_{fkm}^{2}) - v_{Ao}^{2})^{1/2}}$
		$c_{so} = \sqrt{ 4\pi^{2} la (\omega_{skm}^{2} + \omega_{fkm}^{2}) - v_{Ao}^{2}}$