Champ sans-force

Pour une densité de courant différente de zéro dans tout le volume contenant le plasma, l'équation II.28 signifie que le vecteur champ magnétique et le vecteur densité de courant sont parallèles. Par conséquent, l'équation II.12 s'écrit :

$$\vec{rot}(\vec B) = \alpha(\vec r) \vec B$$ (II.C.31)

où $\alpha$ est une fonction de la position. En utilisant les équations II.31 et II.8, on en déduit que $\alpha$ doit être constant le long d'une ligne du champ :

$$\vec B. \vec{grad}(\alpha) = 0 .$$ (II.C.32)

Le champ magnétique vérifiant les équations II.31 et II.32 est appelé champ sans-force. Si $\alpha$ a la même valeur pour chaque ligne de champ, alors nous obtenons le cas sans-force linéaire ou à $\alpha$ constant pour lequel l'équation II.31 devient

$$(\Delta + \alpha^{2}) \vec B = \vec 0 .$$ (II.C.33)

Ce cas est intéressant car l'équation qui le gouverne possède des solutions relativement simples à trouver (ce qui n'est pas le cas pour l'équation II.28). Des solutions ont été mises en évidence en utilisant soit des transformées de Fourier (e.g. nak72), soit des fonctions de Green (e.g. chi77). Comme dans le cas potentiel, le calcul du champ sans-force à $\alpha$ constant nécessite la connaissance de la composante normale du champ magnétique au niveau de la surface (z = 0).

Malgré les difficultés à résoudre les équations du champ sans-force, on peut en déduire des relations intéressantes. En particulier, mol69 a mis en évidence des propriétés intégrales du champ sans-force :

$$\int_{S} (B_{z}^{2} - B_{x}^{2} - B_{y}^{2}) dS = 0, \int_{S} B_{x} B_{z} dS = 0,$$

$$\int_{S} B_{y} B_{z} dS = 0, \int_{S} (yB_{x}B_{z} - xB_{y}B_{z}) dS = 0,$$ (II.C.34)

$$\int_{S} y(B_{z}^{2} - B_{x}^{2} - B_{y}^{2}) dS = 0, \int_{S} x(B_{z}^{2} - B_{x}^{2} - B_{y}^{2}) dS = 0$$

où S représente la surface photosphérique. Ces relations impliquent que, pour l'énergie magnétique contenue dans un volume V et dont le champ magnétique au niveau de la surface S est connue, on a la relation (aly89) :

$$\int_{V} \frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} dV = \int_{S} (xB_{x} + yB_{y})\frac{B_{z}}{\mu_{0}}dx dy .$$ (II.C.35)

L'hélicité magnétique (Sect. 2.3) possède aussi des caractéristiques particulières dans le cas d'un champ sans-force. wol58 a démontré que, pour un plasma parfaitement conducteur, l'hélicité magnétique dans un volume fermé V$_{0}$ est invariante et que l'état de minimum d'énergie correspond à un champ sans-force linéaire. tay74 a étendu les travaux de wol58 : pour un plasma parfaitement conducteur, l'hélicité magnétique est invariante pour chaque tube de flux, et le minimum d'énergie est obtenu pour un champ sans-force linéaire. tay74 a aussi suggéré que, pour un plasma avec une faible résistivité, les modifications dans la topologie de la configuration magnétique étaient accompagnées par de faibles changements du champ magnétique, mais que globalement l'hélicité magnétique dans le volume total était inchangée. Par conséquent, l'hélicité est approximativement invariante et, d'après wol58, le minimum d'énergie est obtenu pour le champ sans-force linéaire : c'est l'hypothèse de tay74.